I.
PENDAHULUAN
A.
Linear
Programming
Morse dan Kimball
menyatakan bahwa riset operasi adalah metode ilmiah yang memungkinkan para
manajer untuk mengambil keputusan mengenai kegiatan yang ditangani secara
kuantitatif. Churchman, Arkoff, dan Arnoff mendefinisikan bahwa riset
operasi merupakan aplikasi metode-metode, teknik-teknik, dan peralatan ilmiah
dalam menghadapi masalah-masalah yang timbul dalam operasi perusahaan dengan
tujuan menemukan pemecahan yang optimal. Kemudian Miller dan M.K. Star menyatakan
bahwa riset operasi adalah peralatan manajemen yang menyatukan ilmu
pengetahuan, matematika, dan logika dalam rangka memecahkan masalah yang
dihadapi sehari-hari sehingga dapat terpecahkan secara optimal.
Linier Programing (LP) merupakan suatu model umum yang dapat
digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas
secara optimal. Sumber-sumber yang dimaksud dapat brupa bahan baku, peralatan
dan mesin, ruang, waktu, dana dan orang. Semua ini dapat dipergunakan untuk
menghasilkan komoditi tertentu. Dengan kata lain Linier Programing adalah
metode atau teknik matematis yang digunakan untuk membantu manajer dalam
pengambilan keputusan. Menurut George B.Dantzing (Seorang ahli matematik dari
Amerika serikat), Dalam bukunya yang berjudul Linier Programming and Extension,
menyebutkan bahwa ide Linier Programming
ini berasal dari ahli matematik Rusia yang bernama L.V Kantorivich yang
pada tahun 1939 menerbitkan sebuah karangan dengan judul “Mathematical Methods
in the Organization and Planing of Production”. Dalam karangan itu, telah
dirumuskan mengenai persoalan linier programming untuk pertama kalinya. Akan
tetapi ide ini tidak dapat berkembang di Rusia. Ternyata dunia barat yang
memanfaatkan ide ini selanjutnya. Kemudian pada tahun 1947 B. Dantzing
menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalan linier programming tersebut
dengan metode yang disebut Simplex method. Setelah itu linier programming
berkembang pesat dalam bidang kemiliteran dan bisnis ( maksimum profit, minimum
cost).
Persoalan linier programming adalah suatu persoalan untuk
menentukan besarnya masing-masing nilai variable sedemikian rupa sehingga nilai
fungsi tujuan (objective function) yang linier menjadi optimum (maximum atau
minimum) dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada yaitu pembatasan
mengenai inputnya. Suatu persoalan dapat disebut sebagai linier programming
apabila:
·
Tujuan
(objective) yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi
linier. Fungsi ini disebut fungsi tujuan (objective fungsion)
·
Harus
ada alternative pemecahan. Pemecahan yang membuat fungsi tujuan optimum (laba
yang maximum, biaya yang minimum) yang harus dipilih
·
Sumber-sumber
tersedia dalam jumlah yang terbatas (bahan mentah terbatas, modal terbatas,
ruang penyimpangan terbatas). Pembatasan-pembatasan tersebut harus dinyatakan
dalam ketidak samaan linier ( linier inequality).
1)
Karakteristik Pemrograman Linier
Sifat linearitas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa
cara. Secara statistik, kita dapat memeriksa kelinearan menggunakan grafik
(diagram pencar) ataupun menggunakan uji hipotesa. Secara teknis, linearitas
ditunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan
kepastian fungsi tujuan dan pembatas.
Sifat proporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi
tujuan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level
nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun
jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain,
jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional
tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah
yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.
Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang
diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian
silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun
pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan
penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi
kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total
penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya
merepresentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan
salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar
yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi.
Sifat divisibilitas berarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam
sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer
dimungkinkan.
Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta. Artinya
koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai pasti,
bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.
Keempat asumsi
(sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan
dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis
sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.
2)
Formulasi Permasalahan
Urutan pertama dalam penyelesaian
adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan
yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini
termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang membatasi, alternatif keputusan
yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan,
hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan yang tepat merupakan
aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan
optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan
melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang
tujuan yang ingin dicapai.
3)
Pembentukan model matematik
Tahap berikutnya yang harus dilakukan
setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk
analisis. Pendekatan konvensional riset operasional untuk pemodelan adalah
membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari
bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan
representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi
variabel keputusan. Model matematika
permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan
optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk persamaan. Bentuk
persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan solusi optimum pada satu
titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa
permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu
usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik
dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.
Bagian kedua merupakan model matematik
yang merepresentasikan sumber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa
berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (< atau >). Fungsi pembatas
disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai
kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter
model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan
pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling
jelas adala model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas.
Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah
dipahami, dan membantu mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model
matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan
keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan.
Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan
komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.
Di sisi lain,
model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik sistem dapat
dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan
dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh karena
kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.
Bentuk umum
pemrograman linier adalah sebagai berikut :
Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1
+ c2x2 + ... + cnxn
Sumberdaya
yang membatasi :
a11x1
+ a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
a21x1
+ a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2
…
am1x1 + am2x2
+ … + amnxn = /≤ / ≥ bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
Simbol x1, x2,
..., xn (xi)
menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh
karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk
mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn
merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut
juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11,
...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel
keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien
fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm
menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala
akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn
≥ 0) menunjukkan
batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan
hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan.
Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
Kasus pemrograman linier sangat
beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun
fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau
minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan
pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati
dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada
fungsi pembatas.
B.
Transportation
Masalah transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk
tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju beberapa tujuan,
dengan permintaan tertentu, pada biaya transport minimum. Karena hanya ada satu
macam barang, suatu tempat tujuan dapat memenuhi permintaanya dari satu atau lebih
sumber. Asumsi dasar model ini adalah bahwa biaya transport pada suatu rute tertentu
proporsional dengan banyaknya unit yang dikirimkan. Unit yang dikirimkan sangat
tergantung pada jenis produk yang diangkut. Yang penting, satuan penawaran dan permintaan
akan barang yang diangkut harus konsisten.
Persoalan transportasi merupakan persoalan linear
programming. Bahkan aplikas dari teknik linear programming pertama kali ialah
dalam merumuskan persoalan transportasi dan memecahkannya. Persoalan transportasi
yang dasar pada mulannya dikembangkan oleh F.L Hitch – cock pada tahun 1941
dalam studinya. Ini merupakan ciri dari persoalan transportasi yaitu mengangkut
ejenis produk tertentu katakan beras, minyak, daging, telur,tekstil, pupuk dan
jenis produk linnya dari beberapa daerah asal ( pusat produksi, depot minyak,
gudang garam) ke beberapa daerah tujuan (pasar, tempat proyek, tempat
pemukiman, daerah transmigrasi), pengaturan harus dilakukan sedemikian rupa
agar jumlah biaya transportasi minimum. Misalnya suatu jenis brang diangkut
dari ke beberapa daerah tujuan. Misalnya ada m daerah asal : A1, A2......,Am
dan n daerah tujuan : T1,T2,.......,Tj......,Tn. Didaerah asal Ai, tersedia
barang yang akan diangkut (supply) sebanyak Si dan di tempat tujuan barang
tersebut diminta sebanyak dj (demand). Xij = jumlah barang yang diangkut (dalam
satuan) dari Ai ke Tj. Dengan demikian untuk mengangkut Xij unit diperlukan
biaya cij xi. Jumlah permintaann ( total demand) = jumlah penawaran (total
supply).
Transportasi merupakan metode yang digunakan untuk mengatur
distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke
tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal.Metode transportasi digunakan
untuk memecahkan masalah bisnis, pembelanjaan modal, alokasi dana untuk
investasi, analisis lokasi, keseimbangan lini perakitan dan perencanaan serta
scheduling produksi. Tujuannya model transportasi suatu proses pengaturan
distribusi barang dari tempat yang memiliki atau menghasilkan barang tersebut
dengan kapasitas tertentu ke tempat yang membutuhkan barang tersebut dengan
jumlah kebutuhan tertentu agar biaya distribusi dapat ditekan seminimal
mungkin. Berguna untuk memecahkan permasalahan distribusi (alokasi). Memecahkan permasalahan bisnis
lainnya, seperti masalah-masalah yang meliputi pengiklanan, pembelanjaan modal
(capital financing) dan alokasi dana untuk investasi, analisis lokasi,
keseimbangan lini perakitan dan perencanaan scheduling produksi.
Merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur
distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke
tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal. Metode transportasi berhubungan
dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran
terbatas, menuju ke beberapa tujuan dengan permintaan tertentu. Asumsi dasar
model ini adalah biaya transport pada suatu rute tertentu proporsional dengan
banyaknya unit yang dikirimkan. Pada model transportasi, yang harus
diperhatikan adalah bahwa total kuantitas pada seluruh baris harus sama dengan
total kuantitas pada seluruh kolom, jika tidak, maka perlu ditambahkan
kuantitas dummy.
Metode Transportasi merupakan suatu metode yang digunakan
untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama
ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah .
Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan
biaya-biaya alokasi dari satu sumber atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang
berbeda. Tabel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu:
1.
Metode
North West Corner (NWC) => dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah
Kelemahan : tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang
efisien.
2.
Metode
biaya terkecil => mencari dan
memenuhi yang biayanya terkecil
dulu. Lebih efisien dibanding metode
NWC.
Metode
transportasi adalah suatu metode dalam Riset Operasi yang digunakan utuk mengatur
distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yg sama, ke tempat-tempat
yg membutuhkan secara optimal. Alokasi produk harus diatur sedemikian rupa,
karena terdapat perbedaan biaya-biaya aloka-si dari sumber ke tempat tujuan yg
berbeda. Disamping itu juga metode
transportasi juga dapat digunakan utk memecahkan masalah dunia usaha (bisnis)
lainnya seperti masalah
yg
meliputi periklanan, pembelanjaan modal (capital financing) dan alokasi dana
untuk in-vestasi, analisis lokasi, keseimbangan lini pe-rakitan dan perencanaan
serta scheduling produksi. Asumsi dasar model transportasi adalah biaya
transportasi pada suatu rute tertentu proporsi-onal dengan banyaknya unit yg dikirim. Difinisi unit yg dikirim sangat tergantung
pada jenis produk yg diangkut. Yang
penting satu-an penawaran dan permintaan akan barang yg diangkut harus
konsisten.
C.
Integer & Mixed integer Programming
Linear
Programming (LP) merupakan teknik riset operasional (operation research
technique) yang telah dipergunakan secara luas dalam berbagai jenis masalah
manajemen (Gaspersz, 2004). Pemrograman linier memakai suatu model matematis
untuk menggambarkan masalah yang dihadapi. Kata sifat ‘linier’ berarti bahwa
semua fungsi matematis dalam model ini harus merupakan fungsi – fungsi linier.
Kata ‘pemrograman’ di sini merupakan sinonim untuk kata ‘perencanaan’. Maka,
membuat pemrograman linier adalah membuat rencana kegiatan – kegiatan untuk
memperoleh hasil yang optimal, ialah suatu hasil yang mencapai tujuan yang
ditentukan dengan cara yang paling baik (sesuai model matematis) di antara
semua alternatif yang mungkin.
1. Komponen Model Integer Linear
Programming
Integer
linear programming memiliki tiga komponen utama, yaitu:
a.
Fungsi Tujuan (Objective Function)
Fungsi tujuan adalah fungsi yang
menggambarkan tujuan/sasaran dari dalam permasalahan integer linear programming
yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal sumber daya-sumber daya untuk
mencapai hasil yang optimal.
b.
Fungsi Pembatas (Constraint Function)
Fungsi pembatas merupakan bentuk
penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan
dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.
c.
Variabel Keputusan (Decision Variables)
Variabel keputusan merupakan aspek dalam
model yang dapat dikendalikan. Nilai variabel keputusan merupakan alternatif
yang mungkin dari fungsi linier.
2. Bentuk Baku Model Pemrograman
Linier
Secara
matematis, model umum dari integer linear programming yang terdiri dari
sekumpulan variabel keputusan X1, X2, …, Xn, dirumuskan sebagai berikut:
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1
+ c2x2 + ... + cnxn
Sumberdaya
yang membatasi :
a11x1
+ a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
a21x1
+ a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2
…
am1x1 + am2x2
+ … + amnxn = /≤ / ≥ bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
Simbol x1, x2,
..., xn (xi)
menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh
karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk
mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn
merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut
juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11,
...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel
keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien
fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm
menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala
akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn
≥ 0) menunjukkan
batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan
hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan.
Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
Asumsi – Asumsi
Pemrograman Linier :
a.
Proporsionalitas
Naik turunnya nilai fungsi tujuan (Z)
dan penggunaan sumber daya berubah sebanding (proporsional) dengan perubahan
tingkat aktivitas.
b.
Additivitas
Aktivitas (variabel keputusan) tidak saling
mempengaruhi dalam menentukan nilai fungsi tujuan sehingga nilai fungsi tujuan
merupakan penjumlahan kontribusi setiap variabel keputusan atau dengan kata
lain kenaikan fungsi tujuan yang diakibatkan oleh suatu aktivitas dapat
ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai fungsi tujuan yang diperoleh dari
aktivitas lain.
c.
Deterministik
Semua parameter yang terdapat dalam
model matematis (Aij, Cj, bi) dapat ditentukan dengan pasti, meskipun jarang
dapat ditentukan dengan tepat.
d.
Accountability
Sumber-sumber yang tersedia harus dapat
dihitung sehingga dapat dipastikan berapa bagian yang terpakai dan berapa
bagian yang masih tersisa.
e.
Linearity of Objectives
Fungsi tujuan dan kendala-kendala harus
dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi linear.
3. Solusi Model Integer Linear
Programming
Solusi
model integer linear programming adalah jawaban akhir dari suatu pemecahan
masalah. Pada suatu model matematis, solusi dikatakan layak (feasible solution)
jika penyelesaiannya tidak melanggar batasan-batasan yang ada. Namun jika
penyelesaiannya tidak memungkinkan pada alternatif-alternatif yang layak
(feasible), maka solusi itu dikatakan tidak layak (no feasible solution). Integer
Linear Programming (ILP) dapat diselesaikan dengan banyak cara, antara lain
menggunakan grafik, metode eliminasi dan substitusi maupun menggunakan
perangkat lunak. Perangkat lunak yang digunakan untuk memperoleh solusi model
integer linear programming, antara lain Excel Solver, TORA, LINDO, AMPL dan
LINGO.
D.
Assignment
Assignment termasuk dalam model transportasi, yakni metode
analisis mengenai masalah pendistribusian sejumlah produk atau komoditas dari
beberapa sumber distribusi (supply) kepada beberapa daerah tujuan (demand)
dengan berpegang pada prinsip biaya distribusi minimal, ataupun juga untuk
mencari pendapatan maksimal dari strategi distribusi komoditi yang mempunyai
keuntungan tertentu. Salah satu metode yang digunakan untuk Assignment adalah
Metode Hungarian. Pada Metode Hungarian, jumlah sumber-sumber yang ditugaskan
harus sama persis dengan jumlah tugas yang akan diselesaikan. Setiap sumber
harus ditugaskan hanya untuk satu tugas. Jadi masalah penugasan akan mencakup
sejumlah n sumber yang mempunyai n tugas, sehingga ada n! ( n faktorial )
kemungkinan.
Tujuan dari model Assignment ini adalah untuk mendapatkan
total biaya minimum dalam pembebanan pekerjaan kepada mesin-mesin yang
tersedia. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut :
Pembebanan
m pekerjaan atau pekerja (i = 1, 2, 3 … , m) kepada n mesin (j = 1, 2, 3, … ,
n) dengan biaya sebesar cij.
Model
Matematis Dari Assignment Problem
1.
Masalah minimisasi
Bagaimana menugaskan karyawan untuk menyelesaikan pekerjaan
agar total biaya pekerjaan minimum. Langkah-langkah :
a.
Menyusun
tabel biaya
b.
Melakukan
pengurangan baris, dengan cara :
1)
Memilih
biaya terkecil setiap baris.
2)
Kurangkan semua biaya dengan biaya terkecil
setiap baris.
c.
Melakukan
pengurangan kolom.
d.
Membentuk
penugasan optimum.
e.
Melakukan
revisi tabel.
2.
Jumlah pekerjaan tidak sama dengan
jumlah karyawan.
Bila jumlah pekerjaan lebih besar dari jumlah karyawan, maka
harus ditambahkan karyawan semu (dummy worker).
3.
Masalah maksimisasi
Dalam masalah maksimisasi, elemen-elemen matriks menunjukkan
tingkat keuntungan. Efektivitas pelaksaan tugas oleh karyawan diukur dengan
jumlah kontribusi keuntungan.
Langkah-langkah
:
a.
Seluruh
elemen dalam setiap baris dikurangi dengan nilai maksimum dalam baris yang
sama. Prosedur ini menghasilkan Matriks Opportunity Loss. Matriks ini
sebenarnya bernilai negatif.
b.
Meminimumkan
Opportunity-loss dengan cara mengurangi seluruh elemen dalam setiap kolom (
yang belum ada nolnya ) dengan elemen terkecil dari kolom tesebut.
c.
Merevisi
matriks.
II.
HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Linier Programming
1.
Maksimisasi
a.
Soal
Sebuah
perusahaan roti rumahan dengan nama “Hiday’s
Cook” akan membuat dua jenis produk yaitu
Roti Bolu dan Martabak. Setiap pembuatan Bolu membutuhkan mentega 70 gr,
tepung terigu 85gr dan gula pasir 25gr dan untuk membuat Martabak membutuhkan
mentega 80 gr tepung terigu 70gr dan gula pasir 50gr. Total mentega yang
tersedia adalah 10.000 gr, tepung terigu yang tersedia adalah 10.000 gr serta
kapasitas gula pasir yang tersedia 10.000 gr. Jika Bolu akan dijual dengan
harga Rp5.000 perbuah sementara Martabak Rp7.000. Maka barapa banyak masing
masing produk yang harus dibuat sehingga keuntungan dapat mencapai maksimal
dengan kapasitas bahan baku yang tersedia. Data perusahaan Hiday’s Cook:
Bahan
|
Bahan yang di butuhkan
|
Bahan yang tersedia (gr)
|
|
Bolu (gr)
|
Martabak (gr)
|
||
Mentega
|
70
|
80
|
10.000
|
Terigu
|
85
|
75
|
10.000
|
Gula Pasir
|
25
|
50
|
10.000
|
Max Z = 5000X1 + 7000X2
Dengan batasan:
+
b.
Langkah-Langkah
:
1)
Buka
POM-QM pada desktop
2)
Klik
Module- Linier Programming
3)
Klik
menu File- New
4)
Pada
kotak title diisi judul kasus yang
akan diselesaikan ( Hiday’s Cook)
5)
Number of Constrain ( jumlah fungsi batasan diisi dengan
3) sesui kasus
6)
Number of Variables ( jumlah variabel diisi 2) sesui
kebutuhan kasus
7)
Pada
Objective pilih Maximize
8)
Klik
Ok
9)
Masukan
angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve
10) Klik Tile untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik Window kemudian klik satu-persatu untuk
mengeluarkan output tertentu( Linier
programming result, Ranging, Solution list, Iteration, Dual, Graph).
c.
Output dan Interpretasi
1)
Output Linear
Programming Results
Interpretasi:
Pada
liniear programing result, terlihat
bahwa solusi untuk kasus ini adalaha X1 sebesar 0 untuk pembuatan Bolu, dan X2
sebesar 125 buah untuk pembuatan Martabak yang dapat diproduksi oleh Hiday’s
cook untuk memperoleh keuntungan maksimal sebesar Rp875000.
2)
Output Ranging
Interpretasi:
Pada tabel
ranging dapat terlihat bahwa :
1. Value
Keuntungan maksimal dapat dicapai ketika produksi X1= 0 buah
dan X2=125 buah.
2. Dual value
Jika dilakukan penambahan 1 gr mentega akan menambah
keuntungan sebesar Rp 87,5 rupiah sedangkan terigu dan gula pasir walaupun
masing-masing dilakukan penambahan 1gr tidak akan memberikan keuntungan karena
nilainya Rp 0. Hal ini disebabkan karena terdapat terigu dan gula pasir yang
terbuang atau tidak optimal dalam pemakaiannya dalam produksi sehingga ada sisa
masing-masing sebesar 625 gr dan 3750 gr.
3. Lower bound dan Upper Bound adalah batas atas
dan batas bawah.
3)
Output Solution List
Interpretasi
:
Pada tabel
solusion list terlihat bahwa :
1)
Value
Produksi optimal untuk profit maksimal yaitu Bolu (x1) = 0
dan Martabak (x2) = 125. Menghasilkan keuntungan (Z sebesar 87500 )
2)
Status
Basic adalah variabel yang masuk ke dalam iterasi. Pada
kasus diatas yang menjadi variabel basic yaitu Martabak (x2), slack 2 dan slek
3.
4)
Output Iterations
Interpretasi :
Pada tabel
iterasi terlihat bahwa terjadi 2 kali iterasi. Hal tersebut berarti untuk dapat
mencapai kombinasi angka optimum diperlukan dua kali langkah komputasi.
5)
Output Dual
Interpretasi
:
Pada tabel
dual terlihat bahwa :
1. Original problem adalah fungsi tujuan dan
kendala pada soal.
2. Dual problem adalah bentuk lain dari fungsi
tujuan dan kendala pada soal.
Min Z =
10.000 Y1 + 10.000Y2 + 10.000Y3
d.b 70Y1 + 85Y2 + 25Y3 >= 5000
80Y1 + 75Y2 + 50Y 3 >= 7000
6)
Output Graph
Interpretasi
:
Pada
graph terlihat bahwa :
1. Corner point adalah kombinasi yang dapat
dilakukan perusahaan. Dapat dilihat kombinasi yang berwarna biru dapat
menghasilkan profit maksimal yaitu X1 =
2. Isoprofit line adalah garis dimana tercapainya
profit maksimal
3. Daerah yang diarsir disebut feasible area
yaitu batas yang mungkin untuk pengalokasian sumberdaya produksi yang ada
dengan waktu yang tersedia.
2.
Minimisasi
a.
Soal
PT D’Poor Link Farm merupakan
perusahaan yang bergerak dibidang pertanian yang berdomisili di Semarang ingin
merencanakan pengiriman pupuk A dan pupuk B kedaerah Purbalingga dan Banyumas.
Untuk pengiriman daerah Purbalingga sedikitnya harus terpenuhi 10 ton pupuk A
dan 8 ton pupuk B serta 10 orang tenaga kerja.Dan untuk pengiriman daerah
banyumas sedikitna harus terpenuhi minimal 8ton pupuk A, 10ton pupuk B dan 10 orang tenaga kerja. Biaya pengiriman tiap
ton daerah purbalingga Rp 150.000 dan Banyumas tiap tonnya Rp 160.000. Data PT D’Poor Linkz Farm:
Purbalingga
|
Banjarnegara
|
Minimum kebutuhan( ton)
|
|
Pupuk A
|
10
|
8
|
80
|
Pupuk B
|
8
|
10
|
100
|
Tenaga kerja
|
10
|
10
|
120
|
Minimumkan Z = 150.000
Dengan batasan :
b.
Langkah-Langkah :
1) Buka POM-QM pada desktop
2) Klik Module-
Linier Programming
3) Klik menu File-
New
4) Pada kotak title diisi judul kasus yang akan
diselesaikan ( PT D’Poor Linkz Farm)
5) Number
of Constrain ( jumlah fungsi batasan diisi dengan 3) sesui kasus
6) Number
of Variables ( jumlah variabel diisi 2) sesui kebutuhan kasus
7) Pada Objective
pilih Minimize
8) Klik Ok
9) Masukan angka-angka pada soal ke dalam tabel
yang muncul kemudian klik Solve
10) Klik Tile untuk mengeluarkan semua output
yang dibutuhkan atau klik Window kemudian klik satu-persatu untuk mengeluarkan
output tertentu ( Linier programming
result, Ranging, Solution list, Iteration, Dual,Graph).
c.
Output dan Interpretasi
1)
Output Linear
Programming Results
Interpretasi:
Pada liniear programing result, terlihat bahwa solusi untuk
kasus ini adalaha X1 sebesar 10 untuk purabalingga, dan X2 sebesar 2 untuk
daerah Banyumas sehingga dapat diperoleh biaya minimum untuk tujuan pengiriman
sebesar Rp1820.000.
2)
Output Ranging
Interpretasi:
Pada
tabel ranging dapat terlihat bahwa :
1. Value
Biaya minimal dapat dicapai ketika kapasitas X1= 10 unit dan
kapasitas X2=2 unit
2. Dual value
Jika dilakukan penambahan 1ton pupuk A, tidak meminimalkan biaya
atau sebesar 0. Ini disebabkan karena pupuk A memiliki nilai sisa sebesar 36. Sedangakn
penambahan satu ton pupuk B serta penambahan 1 tenaga kerja menyebabkan biaya
minimal sebesar Rp -5000,002 dan -11000. Lower bound dan Upper Bound adalah batas atas
dan batas bawah.
3)
Output Solution List
Interpretasi
:
Pada
tabel solusion list terlihat bahwa :
1. Value
Biaya yang optimal untuk biaya minimal yaitu X1 = 10 dan X2
= 2. Menghasilkan tingkat biaya minimal (Z sebesar 1820.000).
2. Status
Basic adalah variabel yang masuk ke dalam iterasi. Pada
kasus diatas yang menjadi variabel basic yaitu X1, X2 dan surplus 1.
4) Output Iterations
Interpretasi :
Pada tabel iterasi
terlihat bahwa terjadi 8 iterasi. Hal tersebut berarti untuk mencapai kombinasi
angka optimum diperlukan 8 kali langkah komputasi.
5)
Output Dual
Interpretasi
:
Pada
tabel dual terlihat bahwa :
1. Original problem adalah fungsi tujuan dan
kendala pada soal.
2. Dual problem adalah bentuk lain dari fungsi
tujuan dan kendala pada soal.
Max
Z = 80 Y1 + 100 Y2 + 120 Y3
d.b 10 Y1 + 8 Y2 + 10Y3 >= 150000
8
Y1 + 10 Y2 + 10Y 3 >= 160000
6)
Output Graph
Interpretasi
:
Pada graph terlihat bahwa :
1. Corner
point adalah kombinasi yang dapat dilakukan perusahaan. Pada minimilasi Dapat
dilihat kombinasi yang dapat
mengoptimalkan biaya paling minimal yaitu X1 = 10 X2 = 2 , dan Z = 1820.000.
2. Isoprofit
line adalah garis dimana tercapainya biaya paling minimal
3. Daerah
yang diarsir disebut feasible area yaitu batas yang mungkin untuk pengalokasian
sumberdaya yang tersedia dengan waktu yang ada.
B.
Transportation
1.
Supply = Demand
a.
Soal
Pabrik D’Poor Link
Farm yang beroprasi pada bidang
produksi pupuk memiliki tiga daerah pemrosesan, yaitu A, B, C dan memiliki tiga
gudang yang berlokasi di 1, 2, 3 sebagai tempat tujuan distribusi hasil produksi. Kapasitas
produksi per bulan pabrik A
= 100 ton, B = 70 ton, dan C = 60 ton. Permintaan masing-masing gudang 1 = 110 ton, 2 = 60 ton, dan 3 = 60 ton per bulan. Berikut biaya
transportasi dari pabrik ke gudang ($): Data perusahaan D’Poor Linkz Farm:
Pabrik
|
1
|
2
|
3
|
A
|
21
|
6
|
7
|
B
|
12
|
18
|
19
|
C
|
25
|
10
|
15
|
Tentukan
dari pabrik mana dikirim ke gudang mana dan berapa jumlah serta total biaya
transportasi.
b.
Langkah-Langkah
:
1)
Buka
POM-QM pada desktop
2)
Klik
Module- Transportation
3)
Klik
menu File- New
4)
Pada
kotak title diisi judul kasus yang
akan diselesaikan (Soal 1 transportasi )
5)
Number of Sources ( jumlah sumber diisi dengan 3) sesui kasus
6)
Number of Destination ( jumlah kejadian diisi 3) sesui
kebutuhan kasus
7)
Pada
Objective pilih Minimize karena menghitung biaya
8)
Klik
Ok
9)
Masukan
angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve
10) Klik Tile untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik Window kemudian klik satu-persatu untuk
mengeluarkan output tertentu ( Transportation
shipments, Final solution table, Marginal cost, Iterations, Shipment with
costs, Shipping list ).
c.
Output dan Interpretasi
1)
Output Transportation
Shipments
Interpretasi:
1. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total
minimum apabila Pabrik A mengirim barang ke gudang 2 sebanyak 40 ton dan ke
gudang 3 sebanyak 60 ton.
2. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total
minimum apabila Pabrik B mengirim barang ke gudang 1 sebanyak 70 ton.
3. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total
minimum apabila Pabrik C mengirim barang ke gudang 1 sebanyak 40 ton dan ke
gudang 2 sebanyak 20 ton
4. Optimal cost adalah biaya minimal yang dapat
digunakan untuk dapat menekan biaya ongkos pengiriman sebesar $2700.
2)
Output Final Solution Table
Interpretasi:
1. Bila pabrik A memaksakan untuk mengirim ke
gudang 1 maka tidak menambah biaya karena nilai marjinnya 0. Namun paling tepat
pabrik A mengirimkan ke gudang 2 dan 3
yang jelas tidak menghasilkan margin cost.
2. Bila pabrik B memaksakan untuk mengirim ke
gudang 2 dan 3 maka akan menambah biaya masing-masing sebesar 21. Sehingga
paling tepat pabrik B disarankan untuk mengirim ke gudang yang tidak
menghasilkan margin cost yaitu gudang 1.
3. Bila pabrik C memaksakan untuk mengirim ke
gudang 3 maka akan menambah biaya sebesar 4. Sehingga paling tepat pabrik C
harus mengirim ke gudang 1 dan 2 yang tidak memiliki margin cost.
3)
Output Marginal Cost
Interpretasi
:
1. Marginal cost pada gudang 1 dari pabrik A adalah 0, berarti
apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik A ke
gudang 1 maka biaya transportasi tetap.
2. Marginal cost pada gudang 2 dari pabrik B adalah $21, berarti
apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik B ke
gudang 2 maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $21.
3. Marginal cost pada gudang 3 dari pabrik B adalah $21, berarti
apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik B ke
gudang 3 maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $21.
4. Marginal cost pada gudang 3 dari pabrik C adalah 4, berarti
apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari pabrik C ke
gudang 3 maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $4.
4)
Output Iterations
Interpretasi :
1. Pada tabel iterasi tampak bahwa
iterasi terjadi sebanyak 1 kali. Hal tersebut berarti untuk mencapai kombinasi
angka optimum yaitu kapasitas maximum dengan biaya paling minimum diperlukan
satu kali langkah komputasi.
5)
Output Shipments
With Costs
Interpretasi
:
1. Shipment with cost adalah jumlah muatan atau besarnya alokasi barang dibandingkan
dengan biaya angkut.
2. Pabrik A mengirim ke gudang 2 dan gudang 3
sebanyak 40ton dan 60 ton dengan biaya masing-masing $240 gudang 2 dan $420
gudang 3.
3. Pabrik B mengirim ke gudang 1 dengan kapasitas
70 ton dan biaya $840.
4. Pabrik C mengirim ke gudang 1 dan gudang 2
sebanyak 40 ton dan 20 ton dengan biaya masing-masing $1000 untuk gudang 1 dan
$200 untuk gudang 2.
6)
Output Shipping
List
Interpretasi
:
1. Jumlah muatan dari pabrik A ke gudang 2
sebesar 40 ton dengan biaya per unit $6, maka total biaya yang dikeluarkan
sebanyak $240
2. Jumlah muatan dari pabrik A ke gudang 3
sebesar 60 ton dengan biaya per unit $7, maka total biaya yang dikeluarkan
sebanyak $420
3. Jumlah muatan dari pabrik B ke gudang 1
sebesar 70 ton dengan biaya per unit $12, maka total biaya yang dikeluarkan
sebesar $840
4. Jumlah muatan dari pabrik C ke gudang 1
sebesar 40 ton dengan biaya per unit $25, maka total biaya yang dikeluarkan
sebesar $1000
5. Jumlah muatan dari pabrik C ke gudang 2
sebesar 20 ton dengan biaya per unit $10, maka total biaya yang dikeluarkan
sebesar $200.
2.
Supply
> Demand
a.
Soal
Pabrik D’Poor Link
Farm yang beroprasi pada bidang
produksi pupuk memiliki tiga daerah pemrosesan, yaitu A, B, C dan memiliki tiga
gudang yang berlokasi di 1, 2, 3 sebagai tempat tujuan distribusi hasil produksi. Kapasitas
produksi per bulan pabrik A
= 100 ton, B = 100 ton, dan C = 60 ton. Permintaan masing-masing gudang 1 = 110 ton, 2 = 60 ton, dan 3 = 60 ton per bulan. Berikut biaya
transportasi dari pabrik ke gudang ($):
Pabrik
|
1
|
2
|
3
|
A
|
21
|
6
|
7
|
B
|
12
|
18
|
19
|
C
|
25
|
10
|
15
|
Tentukan
dari pabrik mana dikirim ke gudang mana dan berapa jumlah serta total biaya
transportasi.
b.
Langkah-Langkah
:
1)
Buka
POM-QM pada desktop
2)
Klik
Module- Transportation
3)
Klik
menu File- New
4)
Pada
kotak title diisi judul kasus yang
akan diselesaikan (Soal 1 transportasi )
5)
Number of Sources ( jumlah sumber diisi dengan 3) sesui kasus
6)
Number of Destination ( jumlah kejadian diisi 3) sesui
kebutuhan kasus
7)
Pada
Objective pilih Minimize karena menghitung biaya
8)
Klik
Ok
9)
Masukan
angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve
10) Klik Tile untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik Window kemudian klik satu-persatu untuk
mengeluarkan output tertentu ( Transportation
shipments, Final solution table, Marginal cost, Iterations, Shipment with
costs, Shipping list ).
c.
Output dan Interpretasi
1)
Output Transportation
Shipments
Interpretasi:
1. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total
minimum apabila Pabrik A mengirim barang ke gudang 2 sebanyak 40 ton dan ke
gudang 3 sebanyak 60 ton.
2. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total
minimum apabila Pabrik B mengirim barang ke gudang 1 sebanyak 100 ton.
3. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total
minimum apabila Pabrik C mengirim barang ke gudang 1 sebanyak 10 ton dan ke
gudang 2 sebanyak 20 ton. Total penawaran sebanyak 260 ton sedangkan total
permintaan 230 ton sehingga terjadi Dummy gudang sebanyak 30 ton.
4. Nilai Optimal cost sebesar $2310 merupakan
penjumlahan hasil kali dari biaya pengiriman per unit dan jumlah produk.
2)
Output Final Solution Table
Interpretasi:
1. Bila pabrik A memaksakan mengirim ke gudang 1
maka biayanya masih 0 dan bila memaksakan mengirim ke gudang dummy maka akan
menambah biaya sebesar $4. Sehingga paling tepat pabrik A mengirimkan kegudang
2 dan 3 yang tidak menghasilkan margin cost.
2. Pabrik B disarankan untuk mengirim ke gudang 1
yang tidak menghasilkan margin cost. Ketika ingin memaksakan untuk mengirim ke
gudang 2, 3, dan dummy maka akan dikenakan biaya masing-masing sebesar $21
untuk gudang 2, $21untuk gudang 3 dan $13 untuk Dummy.
3. Pabrik C disarankan untuk mengirim ke gudang
1,2 dan Dummy yang tidak menghasilkan margin cost, namun ketika memaksakan
untuk mengirim ke gudang 3 maka akan dikenai biaya sebesar $4.
3)
Output Marginal Cost
Interpretasi
:
1. Marginal
cost pada gudang 1 dari pabrik A
adalah 0, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi
dari pabrik A ke gudang 1 maka biaya transportasi tetap.
2. Marginal
cost pada dummy dari pabrik A adalah
$4, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari
pabrik A ke gudang 1 maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $4.
3. Marginal
cost pada gudang 2 dari pabrik B
adalah $21, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi
dari pabrik B ke gudang 2 maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $21.
4. Marginal
cost pada gudang 3 dari pabrik B
adalah $21, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi
dari pabrik B ke gudang 3 maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $21.
5. Marginal
cost pada dummy dari pabrik B adalah
$13, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari
pabrik B ke dummy maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $13.
6. Marginal
cost pada gudang 3 dari pabrik C
adalah $4, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi
dari pabrik C ke gudang 3 maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $4.
4)
Output Iterations
Interpretasi :
1.
Pada tabel
iterasi tampak bahwa iterasi terjadi sebanyak 2 kali. Hal tersebut berarti
untuk mencapai kombinasi angka optimum yaitu kapasitas maximum dengan biaya
paling minimum diperlukan 2 (dua) kali langkah komputasi. Iterasi berhenti
sampai tabel kedua karena nilai biaya tambahannya sudah menunjukan positif
semua.
5)
Output Shipments
With Costs
Interpretasi
:
1. Pabrik
A mengirim kegudang 2 dan gudang 3 dengan kapasitas masing-masing 40 ton serta
biaya $240 dan 60 ton dengan biaya $420.
2. Pabrik
B mengirim ke gudang 1dengan kapasitas 100 ton serta biaya sebesar $1200.
3. Pabrik
C mengirim ke gudang 1 dan gudang dua dengan kapasitas masing-masing sebesar 10
ton dengan biaya $250 dan 20 ton dengan biaya 200. Selanjutnya ke gudang dummy
dengan kapasitas 30 dan biaya $0.
6)
Output Shipping
List
Interpretasi
:
1. Jumlah
muatan dari pabrik A ke gudang 2 sebanyak 40 ton dengan biaya per unit sebesar
$6 maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak $240.
2. Jumlah
muatan dari pabrik A ke gudang 3 sebanyak 60 ton dengan biaya per unit sebesar
$7 maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak $420.
3. Jumlah
muatan dari pabrik B ke gudang 1 sebanyak 100 ton dengan biaya per unit sebesar
$12 maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak $1200.
4. Jumlah
muatan dari pabrik C ke gudang 1 sebanyak 10 ton dengan biaya per unit sebesar
$25 maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak $250.
5. Jumlah
muatan dari pabrik C ke gudang 2 sebanyak 20 ton dengan biaya per unit sebesar
$10 maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak $200.
6. Jumlah
muatan dari pabrik C ke Dummy sebanyak 30 ton dengan biaya per unit sebesar $0
maka total biaya yang dikeluarkan sebanyak $0.
3.
Supply
< Demand
a.
Soal
Pabrik D’Poor Link
Farm yang beroprasi pada bidang
produksi pupuk memiliki tiga daerah pemrosesan yaitu A, B, C dan memiliki tiga
gudang yang berlokasi di 1, 2, 3 sebagai tempat tujuan distribusi hasil produksi. Kapasitas
produksi per bulan pabrik A
= 70 ton, B = 70 ton, dan C = 60 ton. Permintaan masing-masing gudang 1 = 110 ton, 2 = 60 ton, dan 3 = 60 ton per bulan. Berikut biaya
transportasi dari pabrik ke gudang ($): Data perusahaan D’Poor Link Farm:
Pabrik
|
1
|
2
|
3
|
A
|
21
|
6
|
7
|
B
|
12
|
18
|
19
|
C
|
25
|
10
|
15
|
Tentukan
dari pabrik mana dikirim ke gudang mana dan berapa jumlah serta total biaya
transportasi.
b.
Langkah-Langkah
:
a.
Buka
POM-QM pada desktop
b.
Klik
Module- Transportation
c.
Klik
menu File- New
d.
Pada
kotak title diisi judul kasus yang
akan diselesaikan (Soal 1 transportasi )
e.
Number of Sources ( jumlah sumber diisi dengan 3) sesui kasus
f.
Number of Destination ( jumlah kejadian diisi 3) sesui
kebutuhan kasus
g.
Pada
Objective pilih Minimize karena menghitung biaya
h.
Klik
Ok
i.
Masukan
angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve
j.
Klik Tile
untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik Window kemudian klik satu-persatu untuk mengeluarkan output
tertentu ( Transportation shipments, Final
solution table, Marginal cost, Iterations, Shipment with costs, Shipping list
).
c.
Output dan Interpretasi
1)
Output Transportation
Shipments
Interpretasi:
1. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total
minimum apabila Pabrik A mengirim barang ke gudang 2 sebanyak 10 ton dan ke
gudang 3 sebanyak 60 ton.
2. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total
minimum apabila Pabrik B mengirim barang ke gudang 1 sebanyak 70 ton.
3. Perusahaan akan mencapai biaya angkut total
minimum apabila Pabrik C mengirim barang ke gudang 1 sebanyak 10 ton dan ke
gudang 2 sebanyak 50 ton.
4. Total penawaran sebesar 200 ton, sedangakan
total permintaan sebesar 230 ton sehingga terjadi kelebihan permintaan sebesar
30 ton yang sekaligus sebagai dummy pabrik.
5. Dari output dijelaskan bahwa nilai optimal
cost sebesar $2070 merupakan penjumlahan hasil kali dari biaya pengiriman per
unit dan jumlah produk.
2)
Output Final Solution Table
Interpretasi:
1. Pabrik A disolusikan untuk mengirim ke gudang
2 dan gudang 3 walaupun jika memaksakan untuk mengirim ke gudang 1 nilai
tambahan biaya sebesar $0.
2. Pabrik B disolusikan untuk mengirim ke gudang
1 karena tidak ada biaya tambahan. Namun jika ingin memaksakan untuk mengirim
ke gudang 2 dan 3 maka akan menambah biaya masing-masing sebesar $21 untuk
gudang 2 dan $21 untuk gudang 3.
3. Pabrik C disolusikan untuk mengirim kegudang 1
dan 2 karena tidak memiliki biaya tambahan. Sedangkan jika memaksakan untuk
mengirim ke gudang 3 maka akan dikenakan biaya tambahan sebesar $4.
4. Jika Dummy pabrik memaksakan mengirim ke
gudang 2 maka akan menambah biaya sebesar $15 dan jika memaksakan untuk
mengirim ke gudang 3 maka akan menambah biaya sebesar $14. Sehingga paling
tepat dummy pabrik hanya mengirim ke gudang 1 yang tidak memerlukan biaya tambahan.
3)
Output Marginal Cost
Interpretasi
:
1. Marginal
cost pada gudang 1 dari pabrik A
adalah 0, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi
dari pabrik A ke gudang 1 maka biaya transportasi tetap.
2. Marginal
cost pada dummy dari pabrik A adalah
$4, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari
pabrik A ke gudang 1 maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $4.
3. Marginal
cost pada gudang 2 dari pabrik B
adalah $21, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi
dari pabrik B ke gudang 2 maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $21.
4. Marginal
cost pada gudang 3 dari pabrik B
adalah $21, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi
dari pabrik B ke gudang 3 maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $21.
5. Marginal
cost pada dummy dari pabrik B adalah
$13, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi dari
pabrik B ke dummy maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $13.
6. Marginal
cost pada gudang 3 dari pabrik C
adalah $4, berarti apabila dilakukan penjualan satu unit barang hasil produksi
dari pabrik C ke gudang 3 maka biaya transportasi akan bertambah sebanyak $4.
4)
Output Iterations
Interpretasi :
1.
Pada tabel
iterasi tampak bahwa iterasi terjadi sebanyak 1 kali. Hal tersebut berarti
untuk mencapai kombinasi angka optimum yaitu kapasitas maximum dengan biaya
paling minimum diperlukan satu kali langkah komputasi.
5)
Output Shipments
With Costs
Interpretasi
:
1. Pabrik A mengirim ke gudang 2 dengan kapasitas
10 ton serta biaya $60 dan ke gudang 3 dengan kapasitas 60 ton dengan biaya
$420.
2. Pabrik B mengirim ke gudang 1 dengan kapasitas
70 ton serta biaya $840.
3. Pabrik C mengirim ke gudang 1 sebesar 10 ton
dengan biaya $250 dan ke gudang 3 sebesar 50 ton dengan biaya $500.
4. Pabrik Dummy mengirim ke gudang 1 dengan
kapasitas 30 ton dan biaya $0.
6)
Output Shipping
List
Interpretasi
:
1. Jumlah muatan dari pabrik A ke gudang 2
sebanyak 10 ton dengan biaya per unit $6, maka total biaya yang dikeluarkan
sebesar $60.
2. Jumlah muatan dari pabrik A ke gudang 3
sebanyak 60 ton dengan biaya per unit $7, maka total biaya yang dikeluarkan
sebesar $420.
3. Jumlah muatan dari pabrik B ke gudang 1 sebanyak
70 ton dengan biaya per unit $12, maka total biaya yang dikeluarkan sebesar
$840.
4. Jumlah muatan dari pabrik C ke gudang 1
sebanyak 10 ton dengan biaya per unit $25, maka total biaya yang dikeluarkan
sebesar $250.
5. Jumlah muatan dari pabrik C ke gudang 2
sebanyak 50 ton dengan biaya per unit $10, maka total biaya yang dikeluarkan
sebesar $500.
6. Jumlah muatan dari pabrik dummy ke gudang 1
sebanyak 30 ton dengan biaya per unit $0, maka total biaya yang dikeluarkan
sebesar $0.
C. Integer & Mixed
Integer Programming
1.
Soal
Perusahaan “D’Poor
Linkz Shop” merupakan perusahaan yang memproduksi Sepatu dan Tas, untuk
membuat 1 pasang sepatu diperlukan
proses pemotongan selama 15 menit dan proses perakitan selama 12 menit serta
penjahitan 15 menit, sedangkan untuk membuat
1 unit tas diperlukan proses pemotongan selama 10 menit dan proses
perakitan 10 selama 10 menit, serta
penjahitan selama 12 menit. Dalam satu hari kerja tersedia 360 menit untuk
proses pemotongan, dan 300 menit untuk proses perakitan serta 320 menit
penjahitan. Jika dijual, setiap produk
menghasilkan keuntungan sebesar 5.000 untuk sepatu dan 7000 untuk tas.
Ringkasan data perusahaan ada pada tabel
berikut:
Pekerjaan
|
Waktu yang diperlukan (menit)
|
Waktu tersedia (menit)
Per hari
|
|
Sepatu
|
Tas
|
||
Pemotongan
|
15
|
10
|
360
|
Perakitan
|
12
|
10
|
300
|
Penjahitan
|
15
|
12
|
320
|
Berapa
jumlah kombinasi antara sepatu dan tas
yang harus di produksi oleh perusahaan untuk memperoleh keuntungan yang
paling maksimal?
Max
Z 5000X1 + 7000X2
Dengan
batasan: 15X1 + 10X2 <= 360
12X1 + 10X2 <= 300
15X1 + 12 X2<= 320
X1,X2 >= 0
2.
Langkah-Langkah
:
a.
Buka
POM-QM pada desktop
b.
Klik
Module- Integer & Mixed integer
Programming
c.
Klik
menu File- New
d.
Pada
kotak title diisi judul kasus yang
akan diselesaikan (D’Poor Linkz Shop )
e.
Number of Constraint ( batasan diisi dengan 3) sesui kasus
f.
Number of Variable ( variabel diisi 2) sesui kebutuhan
kasus
g.
Pada
Objective pilih Maximize
h.
Klik
Ok
i.
Masukan
angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve
j.
Klik Tile
untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik Window kemudian klik satu-persatu untuk mengeluarkan output
tertentu (Integer & mixed integer
Programming, Iteration results, Original problem W/Answer dan Graph).
3.
Output dan Interpretasi
a.
Output Integer
& Mixed Integer Programming
Interpretasi:
1)
Tampilan integer dan mixed integer programming result menunjukan bahwa hasil
perhitungan atau solusi untuk kasus ini adalah X1 sebesar 0 untuk Sepatu dan X2
sebesar 26 untuk tas yang dapat diproduksi oleh D’Poor Linkz Shop sehingga memperoleh keuntungan maksimal sebesar
$182000.
b.
Output Iteration Results
Interpretasi:
1)
Dari tabel iteration result menunjukan bahwa hasil perhitungan tahap demi
tahap. Dimana tahapan penyelesaian untuk kasus D’Poor Linkz Shop terjadi sebanyak 7 kali perhitungan untuk
mencapai solusi optimal.
2)
Nilai integer yang paling optimal ada
pada tahap ke 3 dimana x1 = 0 dan x2 = 26 dan menghasilkan nilai solusi sebesar
$ 182000.
3)
Untuk tahap 1, 2 dan 4 memiliki solution value yang lebih besar dari
pada solution value tahap 3 yaitu
186666.7 dan 184666.7 serta 182916.7 namun tidak dijadikan sebagai solusi
optimal karena pada solution type
tertulis Noninteger yang artinya
kombinasi x1 dan x2 masih memiliki nilai yang tidak bulat (noninteger) sehingga
tidak bisa dipakai sebagai solusi optimal.
4)
Pada tahap 5 merupakan kombinasi yang
suboptimal yaitu berarti merupakan kombinasi yang paling mendekati optimal
namun belum optimal.
5)
Pada tahap 6 dan 7 merupakan kombinasi
yang infeasible yaitu tidak pada daerah kombinasi yang rasional. Sehingga tidak
diterangkan secara jelas pada tabel.
c.
Output Original Problem W/answer
Interpretasi
:
1)
Menunjukkan hasil perhitungan beserta
persoalan yang diselesaikannya.
2)
Solution
merupakan jawaban optimal yang diperoleh dari persoalan serta batasan-batasan
yang diterangkan. Yaitu x1 = 0 dan x2 = 26 dengan nilai optimal sebesar
$182000.
d.
Output Graph
Interpretasi :
Tampilan
graph, menunjukkan secara grafik, bahwa hasil perhitungan integer programming
pada graph adalah :
1)
Corner
point, merupakan kombinasi yang dapat dilakukan perusahaan. Kombinasi yang dapat menghasilkan profit
maksimal yaitu x1 = 0 dan x2 = 26 dan z = 182000
2)
Isoprofit line adalah garis dimana
tercapainya profit maksimal terliahat pada garis putus-putus yang berwarna
merah muda
3)
Daerah yang diarsir feasible area yaitu batas yang mungkin atau rasional untuk pengalokasian sumber daya yang ada
dengan waktu yang tersedia.
D. Assignment
1.
Soal
Bapak Waryadi Seorang kepala sekolah di SMA MIN-THOL
memiliki 4 anak didik yang sangat berprestasi ingin mendelegasikan 4 muridnya
untuk ikut olimpiade Fisika, Kimia, Matematika, dan Biologi. Semua murid tersebut telah mempunyai nilai-nilai
pelajaran yang diperoleh dari guru-gurunya dapat dilihat pada tabel dibawah ini
(data penugasan pak Waryadi):
Nama murid
|
Mata Pelajaran
|
|||
Fisika
|
Kimia
|
Matematika
|
Biologi
|
|
Ariel
|
85
|
88
|
77
|
95
|
Pasha
|
90
|
87
|
79
|
90
|
Gisel
|
90
|
85
|
80
|
94
|
Dayat
|
86
|
80
|
90
|
98
|
Buatlah
pendelegasian yang tepat untuk masing masing murid tersebut ?
2.
Langkah-Langkah
:
a.
Buka
POM-QM pada desktop
b.
Klik
Module- Assignment
c.
Klik
menu File- New
d.
Pada
kotak title diisi judul kasus yang
akan diselesaikan (waryadi’s Assignment)
e.
Number of Job ( pekerjaan diisi
dengan 4) sesui kasus
f.
Number of Machines ( vmesin diisi 4) sesui kebutuhan
kasus
g.
Pada
Objective pilih Maximize
h.
Klik
Ok
i.
Masukan
angka-angka pada soal ke dalam tabel yang muncul kemudian klik Solve
j.
Klik Tile
untuk mengeluarkan semua output yang dibutuhkan atau klik Window kemudian klik satu-persatu untuk mengeluarkan output
tertentu (Assignments, Marginal costs dan
Assignment List).
3.
Output dan Interpretasi
a.
Output Assignments
Interpretasi:
1)
Pendelegasian
olimpiade fisika tepat di tugaskan kepada Gisel dengan nilai 90
2)
Pendelegasian
olimpiade Kimia tepat ditugaskan kepada Pasha dengan nilai 87
3)
Pendelegasian
olimpiade Matematika tepat ditugaskan kepada Dayat dengan nilai sebesar 90
4)
Pendelegasian
olimpiade Biologi tepat ditugaskan kepada Ariel dengan nilai sebesar 95
5)
Optimal
keuntungan untuk penugasan pendelegasian olimpiade adalah sebesar 362.
b.
Output Marginal Costs
Interpretasi:
1)
Marginal cost merupakan tambahan atau penurunan
keuntungan yang terjadi jika penugasan yang diinginkan tidak sesui dengan tabel
solution.
2)
Margin cost untuk penugasan olimpiade Fisika jika
dipaksakan untuk dilakukan oleh Aril dan dayat maka akan mengurangi keuntungan
sebesar 6 dan 14
3)
Margin cost untuk penugasan Kimia jika dipaksakan
ditugaskan kepada Gisal dan Dayat maka akan mengurangi keuntungan sebesar 2 dan
17.
4)
Margin cost untuk penugasan Matematika jika
dipaksakan ditugaskan kepada Ariel dan Pasha maka akan mengurangi keuntungan
sebesar 4 dan 1
5)
Marginal cost untuk penugasan Olimpiade biologi jika
dipaksakan untuk ditugaskan kepada Pasha, Gisel dan Dayat maka akan mengurangi
keuntungan sebesar masing-masing 4,0 dan 6.
c.
Output Assignment List
Interpretasi
:
Assignment
list menunjukan penugasan serta efek keuntungannya yaitu:
1)
Olimpiade
Fisika yang didelegasikan kepada Gisel dengan keuntungan 90
2)
Olimpiade
Kimia yang didelegasikan kepada Pasha dengan keuntungan 87
3)
Olimpiade
Matematika yang didelegasikan kepada Dayat dengan keuntungan 90
4)
Olimpiade
Biologi yang didelegasikan kepada Ariel dengan keuntungan 95
5)
Total
keuntungan yang didapatkan sebesar 362.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar